Моменты инерции стандартных винтов.

Автор темы
SAIHO
Реальное имя: Сергей
Откуда: Ейск

Моменты инерции стандартных винтов.

Сообщение SAIHO » 26 апр 2020, 13:17

Время от времени мне приходится прикидывать инерционность кинематики станков чтобы выбрать привод. Очень часто встречаются в станках ходовые винты и раньше их момент инерции брал либо из паспортных данных (уважающие себя производители их обязательно приводят) либо просто считал винт сплошным валом (даже не по среднему диаметру резьбы, а по наружному). Оба подхода имеют право на жизнь в своей нише. Но вот однажды захотелось посмотреть точную формулу и сравнить с грубым приближением, которым пользовался в отсутствии готовых данных. Почему бы и нет? Естественно, первым делом загуглил, но не тут то было. По стандартным стержням постоянного сечения информации море (правда и ошибок очень много - всегда нужно перепроверять по разным источникам, более-менее блохи выловлены у доктора Лома, но будьте внимательны с единицами измерения), а по винтам совсем ничего не нашел.

Первый вопрос к аудитории - знает ли кто-нибудь где есть готовые формулы для трапецеидального, метрического, дюймового винтов? Хотелось бы задав тип резьбы, наружный диаметр и шаг получить момент инерции погонного метра винта с единичным удельным весом материала. Буду очень признателен за подсказку.

Не будет готового ответа - решим в этой теме. Заодно немного напомню тем кто подзабыл что такое момент инерции, для чего он нужен и как его посчитать. Предварительно уже сделал наброски. Задачка обещает быть довольно красивой, вполне достойна присутствовать в каком-нибудь решебнике по термеху. Формулы с корнями и интегралами на нашем форуме конечно писать не получится, но я попробую накидать в Максиме и вставить решение как картинку. Начнем с трапецеидальной резьбы, а там посмотрим. И все же пока есть надежда что кто-то найдет уже готовый ответ.
--------------------------------------
Здесь будет выжимка с результатами - формула, электронная таблица со значениями моментов инерции трапецеидальных винтов из ряда ГОСТ. Предварительно могу анонсировать что отличие момента инерции винта от кругляка такого же диаметра лежит в пределах от -15% (для 28 шаг 2) до -40% (22 шаг 8). Таблица будет выложена после того, как хоть кто-нибудь проверит выведенные формулы (хоть аналитически, хоть сравнит с расчетом в каком-нибудь CAD-е). Ну или по истечении длительного времени :jokingly:
Демократия не должна нарушать границы компетентности.

Автор темы
SAIHO
Реальное имя: Сергей
Откуда: Ейск

Моменты инерции стандартных винтов.

Сообщение SAIHO » 10 май 2020, 13:10

Хочу начать с благодарности Игорю, который помог мне добиться такого оформления. Золотой человек. Надеюсь вам будет так же приятно видеть неплохого качества картинки без превьюшек как и мне.

Итак, давайте рассмотрим трапецеидальный винт. Оттолкнемся от ГОСТ 24737-81 и будем использовать те же обозначения (d, d2, d3, D1, D2, D4, P)
Угол скоса профиля резьбы составляет 15 градусов, P - это шаг винта. Где какие диаметры посмотрите на картинке (для примера построен профиль винта диаметром 8 мм шаг 2 мм, размеры взяты из упомянутого ГОСТ-а). Гайка светло-серая, винт темно-серый:
vint1.png

Многие помнят со школы синусы и косинусы углов кратных 30 градусам. Они довольно просто выражаются через дроби, чаще с корнем из двух или из трех в числителе. Так вот нам потребуется вычислить тангенс 15 градусного угла и оказывается это тоже относительно простое выражение:
tan15.png

Теперь хорошо бы понять что из себя представляет поперечное сечение винта:
vint2.png

Над углом бета сечение проходит по гребню резьбы, над углом гамма по впадине, участки над углами альфа это кусочки спирали Архимеда, где изменение радиуса прямо пропорционально углу поворота. Нам потребуется выразить углы альфа и бета, а также определить угол наклона спирали. Поехали. Начнем с угла альфа. Это такой угол, на который нужно повернуть винт чтобы он сдвинулся на ширину скоса профиля вдоль своей оси:
alpha.png

Слева записано что при совершении одного оборота ( 2*пи радиан) винт смещается на свой шаг P, а при повороте на угол альфа он сместится на величину указанную слева от знака равенства. И все это приравнено проекции скоса профиля резьбы на ось винта (d/2-d3/2 это полная высота профиля, которая умножается на тангенс угла скоса). Дальше угол альфа легко выражается из этого равенства с учетом вычисленного ранее значения тангенса.

Угол бета легко определить если заметить что вершины наружной (d) и внутренней (D1) резьбы имеют одинаковую высоту относительно средней линии (смотри первый рисунок). Тогда давайте запишем из каких частей состоит полный шаг резьбы и выразим из полученного выражения искомый угол:
beta.png

Тут написано что полный шаг это две ширины скоса между d и D1 плюс две ширины гребня (под которым и сидит искомый угол бета). А с учетом d-D1=P (это прямо в ГОСТ-е написано) и вычисленного ранее значения тангенса получилась очень простая формула. Я уже обещал что задачка имеет довольно симпатичное решение с лаконичными формулами, достойное задачника по термеху. Пока так и получается.

Посмотрите еще раз на рисунок поперечного сечения винта. Чтобы посчитать его момент инерции Jz разделим условно все сечение на центральный стержень диаметром d3 с моментом инерции J1, полоску внутри угла бета между диаметрами d3 и d с моментом инерции J2, две одинаковые части внутри углов альфа между d3 и кусочками спиралей Архимеда (посчитаем для одной и умножим на два) с моментом инерции 2*J3. Для каждой части нужно будет взять несложный интеграл, главное не ошибиться:
vint2.png

Дальше займемся каждым из трех интегралов. И начнем с последнего, как с "самого сложного". Вы можете видеть в формуле угол тета, который требует пояснений. Вот увеличенная часть поперечного сечения винта, где видно что он из себя представляет:
vint3.png

Каждому значению радиуса r между d3 и d соответствует дуга под скосом резьбы. Произведение тета на r дает длину этой дуги. И раз уж тета зависит от радиуса r то чтобы взять интеграл необходимо подставить эту зависимость в подинтегральное выражение.

Продолжение следует. Дайте немного полюбоваться оформлением :)
У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.
Демократия не должна нарушать границы компетентности.


Вернуться в «Полезные советы»